בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי במהירות קבועה 2 בדרך חזרה מעיר B לעיר A נסעה המכונית בדרך עפר, הקצרה ב- 40% מהדרך הראשי, ונאלצה להקטין את מהירותה ב- 10% 3 אורך הדרך בכביש הראשי מ- A ל- B הוא 240 ק"מ - 2 שעות 4 בכביש הראשי עברה המכונית מהדרך שבין A ל- צ"ל: מצא את זמן הנסיעה של המכונית בדרך חזרה מ- B ל- A לפי נתונים 1,3 ו- 4 : אורך הדרך בכביש הראשי מ- A ל- B הוא 240 קמ"ש נתון כי המכונית עברה בכביש הראשי מהדרך מ- A ל- -2 שעות, לכן: ק מ לפי הנוסחה: זמן מהירות = דרך מהירות המהירות הקבועה של המכונית היא: 80 קמ"ש לפי נתון 2: דרך זמן, לכן: קמ ש בדרך חזור מ- A ל- B המכונית נסעה בדרך עפר הקצרה ב- 40% מהדרך הלוך, לכן: ק מ אורך הדרך חזרה מ- B ל- A, דרך העפר, היא 144 ק"מ בנוסף נתון כי בדרך זו המכונית הקטינה את מהירותה ב- 10%, לכן: קמ ש המהירות של המכונית בדרך העפר היא 72 קמ"ש לפי הנוסחה שציינו: זמן מהירות = דרך זמן זמן הנסיעה של המכונית בדרך העפר הוא שעתיים דרך מהירות
שאלה מספר 2 נתון: 1 מעגל שמרכזו 2 דרך הנקודה M הנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה צ"ל: א מצא את משוואת המעגל ב מצא: (1) את משוואת הישר OD (2) את משוואת המשיק DM ג עוד נתון: 3 צ"ל: מצא את השיעורים של הנקודה M ד עוד נתון: 4 העבירו מעגל דרך הנקודות O D, M, צ"ל: מצא את משוואת מעגל זה א לפי נתונים 1 ו- 2, נמצא את רדיוס המעגל: : נמצא את משוואת המעגל בעזרת נקודת מרכז המעגל (0,0)O ו- ב (1) נמצא את שיפוע הישר :OD
(2) לפי נתון DM 2 משיק לרדיוס OD לכן שיפוע המשיק DM הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס DO כלומר ( ) ג מכיוון שהנקודה M נמצאת על הישר נסמן את שיעוריה כך: לפי נתונים 2 ו- 3: נתון כי M נמצאת ברביע הראשון רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, ולכן ד מכאן נובע כי OM קוטר במעגל העובר דרך הנקודות D M, O, מכיוון שאם זווית היקפית בת 90 אז המיתר עליו היא נשענת הוא קוטר
נמצא את הנקודה E בעזרת הנקודות M ו- O ובעזרת הנוסחה לחישוב אמצע קטע: נמצא את רדיוס המעגל בעזרת הנקודות לחישוב מרחק: ו- ובעזרת הנוסחה : נמצא את משוואת המעגל בעזרת נקודת מרכז המעגל ו-
שאלה מספר 3 נתון: 1 במלאי של סוחר יש כובעים המיוצרים בשלושה מפעלים: מפעל A, מפעל B, מפעל C 2 מלאי הכובעים הוא גדול מאוד מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל A מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל B 3 4 5 שאר הכובעים במלאי מיוצרים במפעל C 6 5% מהכובעים המיוצרים במפעל A הם פגומים 7 מהכובעים המיוצרים במפעל B הם פגומים 8 מהכובעים במלאי הם פגומים צ"ל: א בוחרים באקראי כובע אחד מבין הכובעים המיוצרים במפעל C מהי ההסתברות שהכובע פגום? ב מהי ההסתברות שבמדגם מקרי של 6 כובעים המיוצרים במפעל C יש לכל היותר כובע אחד פגום? נפרש את נתונים 1-8: נתון כי מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל A ו- מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל B ( ( ) ) לכן מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל C 5% מהכובעים המיוצרים במפעל A הם פגומים כלומר 005, לכן 095 מהכובעים המיוצרים במפעל A אינם פגומים שכן זהו המאורע המשלים 15% מהכובעים המיוצרים במפעל B הם פגומים כלומר 095, לכן 0015 מהכובעים המיוצרים במפעל B אינם פגומים שכן זהו המאורע המשלים 35% מהכובעים במלאי הם פגומים כלומר 0035 מספר הכובעים הפגומים המיוצרים במפעל C מספר הכובעים שאינם פגומים המיוצרים במפעל C נסמן: x
מפעל C מפעל B מפעל A פגום תקין פגום תקין פגום תקין כובע פגום כובע פגום ב צריך למצוא את ההסתברות שבמדגם מקרי של 6 כובעים המיוצרים במפעל C כובע אחד פגום, זאת אומרת 0 כובעים פגומים או כובע אחד פגום נשתמש בנוסחת ברנולי: ( ) ההסתברות ל- 0 כובעים פגומים : ההסתברות לכובע פגום אחד: ( ) ( )
שאלה מספר 4 נתון: 1 משולש ABC חסום במעגל 2 ס מ 3 ס מ 4 צ"ל: א (1) הוכח כי (2) מצא את האורך של AB (3) מצא את האורך של BF ב הוכח כי ג מצא את האורך של CF טענה מש"ל א' (1) נימוק )נתון 2( כל גודל השווה לעצמו לפי משפט דמיון זז )טענות 1,2( חישוב )טענות 3,4( 1 2 3 4 ס מ פרופורציה בין צלעות מתאימות במשולשים דומים, חישוב, הצבה )טענות 3,4 ונתון 4( 5 ס מ מש"ל א' (2) משפט חוצה זווית פנימית במשולש, הצבה )טענות 1,4 ונתון 3( 6
זוויות היקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת )או על קשתות שוות(, שוות זו לזו זוויות היקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת )או על קשתות שוות(, שוות זו לזו כלל המעבר )טענה 8, נתון 1( לפי משפט דמיון זז )טענות 7,9( כלל המעבר אם במשולש זוויות הבסיס שוות זו לזו אז המשולש שווה שוקיים )טענה 11( במשולש שווה שוקיים השוקיים שוות זו לזו )טענות 4,12( פרופורציה בין צלעות מתאימות במשולשים דומים, חישוב, הצבה )טענות 3,10,13 ונתון 3( ס מ מש"ל א' (3) מש"ל ב' משולש שווה שוקיים ס מ 7 8 9 11 11 12 13 14 כלל המעבר אם במשולש זוויות הבסיס שוות זו לזו המשולש שווה שוקיים )טענה 15( במשולש שווה שוקיים השוקיים שוות זו לזו )טענות 14,15( משולש שווה שוקיים ס מ מש"ל ג' 15 16 17
שאלה מספר 5 נתון: 1 מעגל שמרכזו O ורדיוסו R 2 מנקודה A יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה B, ויוצא ישר חותך את המעגל בנקודות D ו- C 3 CD הוא קוטר 4 צ"ל: א הבע את AB באמצעות R נמק ב חשב את גודל הזווית BOA ג עוד נתון: 5 מנקודה A יוצא ישר נוסף המשיק למעגל בנקודה F צ"ל: הוכח כי טענה נימוק רדיוסים במעגל שווים זה לזה נתון 4 1 2 חישוב )טענות 1,2( 3 ישר זווית משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה )נתונים 2,3( משולש בעל זווית אחת ישרה נקרא משולש ישר זווית )טענה 4( שימוש במשפט פיתגורס במשולש BOA )טענות 1,3,5( 4 5 6
מש"ל א' שימוש במשפט הקוסינוסים במשולש BOA )טענות 1,3 ו- )5 7 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שמחוץ למעגל שווים זה לזה )נתונים 2 ו- 5( גודל השווה לעצמו משולש בו שתי צלעות שוות זו לזו נקרא משולש שווה שוקיים )טענה 8( רדיוסים במעגל שווים זה לזה משולש בו שתי צלעות שוות זו לזו נקרא משולש שווה שוקיים )טענה 11( מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף נקרא דלתון )טענות 10 ו- 12( האלכסונים בדלתון מאונכים זה לזה )טענה 13( מש"ל ב Δ משולש שווה שוקיים Δ משולש שווה שוקיים דלתון מש"ל ג' 8 9 11 11 12 13 14
שאלה מספר 6 נתון: 1 משולש ABC משולש שווה צלעות 2 רדיוס המעגל החוסם משולש זה הוא R צ"ל: א הבע באמצעות R: (1) את היקף המשולש ABC (2) את שטח המשולש ABC ב עוד נתון: 3 4 5 צ"ל: מצא את האורך של הקטע BD - במשולש שווה צלעות כל הזוויות בנות 60 א (1) לפי נתון 1: נשתמש במשפט הסינוסים במשולש :ABC (2) מציאת שטח המשולש :ABC יח ר ב לפני נתונים 3 ו- 4 : זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות זו את זו ל- משלימה סכום זוויות במשולש ACD ל- יח לפי נתון 5:
ס מ אם במשולש זווית אחת בת 30, אז הניצב מולה שווה למחצית היתר על מנת למצוא את הצלע DC נשתמש במשפט פיתגורס במשולש :ADC יח על מנת למצוא את הצלע BD נשתמש במשפט פיתגורס במשולש :BCD יח
שאלה מספר 7 א מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה: תחום הגדרה:, ב מציאת אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים: אסימפטוטה אנכית:, אסימפטוטה אופקית: החזקה במכנה גדולה יותר מהחזקה במונה, לכן האסימפטוטה האופקית היא ג מציאת השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן: מ מ נבנה טבלה על מנת לקבוע את סוג הקיצון: x 1 2 3 max
מציאת את ערך ה- y של נקודת הקיצון: ד מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים: עם ציר ה- 0=y:, x מ מ אין נקודות חיתוך עם ציר ה- x עם ציר ה- 0=x: y, ה נקודת חיתוך עם הצירים: ו לפי השרטוט ניתן לראות שהפונקציה אינה בתחום שבין ולכן אין לפונקציה נקודת חיתוך אם נקודה ששיעור ה- y שלה הוא 5-
שאלה מספר 8 נתון: 1 2 a הוא פרמטר א עוד נתון: 3 ישר המשיק לגרף הפונקציה של f(x) בנקודה שבה, מקביל לציר ה- x צ"ל: מצא את הערך של a הצב את הערך של a שמצאת, וענה על סעיפים ב' ג': ב (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה- x (2) עפ"י הגרף של f(x), קבע את התחומים שבהם f(x) שלילית ואת התחומים שבהם f(x) חיובית (3) עוד נתון: 4 נגזרת של הפונקציה g(x) מקיימת )g(x) היא פונקציית הנגזרת של f(x)( צ"ל: מצא את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) וקבע את סוגן נמק ג עוד נתון: 5 הישר משיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודת המקסימום שלה צ"ל: מצא את הפונקציה : א לפי נתון 3 נגזור את הפונקציה ונציב : ב (1) מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x,
או (2) לפי השרטוט ולפי סעיף ב' (1): f(x) שלילית כאשר או f(x) חיובית כאשר לכן שיעורי נקודת הקיצון של g'(x) הם שיעורי נקודות (3) לפי נתון 4 החיתוך של f(x) עם ציר ה- x, כלומר: לפי נתון 4 וסעיף ב (2) נובע כי: ולכן g(x) יורדת בתחומים אלו או כאשר ולכן g(x) עולה בתחומים אלו או כאשר נבנה טבלה לתיאור הנתונים: x -1 min max min מקסימום נמצא את הפונקציה הקדומה של f(x) על מנת למצוא מינימום, ג מכיוון ש- את g(x) : לפי נתון 5 הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודת המקסימום שלה, ובסעיף קודם 0=x מקסימום, לכן שיעורי נקודת המקסימום הם נציב במשוואת :g(x)
שאלה מספר 9 נתון: 1 הגרפים I ו- II של הפונקציות, צ"ל: א מצא איזה גרף הוא של,f(x) ואיזה גרף הוא של g(x) נמק ב עוד נתון: 2 נקודה A נמצאת על גרף I ונקודה B נמצאת על גרף II כך שהקטע AB מקביל לציר ה- y ונמצא בתחום צ"ל: (1) מצא את שיעור ה- x של הנקודה A, שעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי (2) מצא את הערך המקסימלי של הקטע AB, א מיוצג ע"י גרף I ו- f(x) ע"י גרף II ב (1) נסמן: בניית פונקציית המטרה: ולכן g(x) או או או נפסל נפסל נפסל נפסל נפסל נפסל נפסל
תשובה: (2) נציב בפונקציית המטרה: מקסימלי יח יח מקסימלי